53. Maximum Subarray（连续子数组的最大和问题）

题目描述和难度

• 题目描述：

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

• 题目难度：简单。
• 英文网址：53. Maximum Subarray 。
• 中文网址：53. 最大子序和 。

思路分析

求解关键：连续子数组的问题，一般我们着眼于以当前遍历到的元素结尾的那个子数组，这样做分析会简化问题。

参考解答

参考解答1

public class Solution {

    // 给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

    /**
     * 定义状态：
     * dp[i] ： 表示以 nums[i] 结尾的连续子数组的最大和
     * <p>
     * 状态转移方程：
     * dp[i] = max{num[i],dp[i-1] + num[i]}
     *
     * @param nums
     * @return
     */
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        if (len == 0) {
            return 0;
        }
        int[] dp = new int[len];
        dp[0] = nums[0];
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i] = Math.max(nums[i], dp[i - 1] + nums[i]);
        }
        // 最后这一步，是求一个全局的最优值
        int res = dp[0];
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            res = Math.max(res,dp[i]);
        }
        return res;
    }
}

参考解答2 ：和参考解答 1 是一样的，只不过在遍历的过程中，就把最优解解求出来了。

public class Solution2 {

    /**
     * 和 Solution 一样，空间复杂度更小
     * 时间复杂度：O(n)
     * 空间复杂度：O(1)
     *
     * @param nums
     * @return
     */
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        if (len == 0) {
            return 0;
        }
        int segmentSum = nums[0];
        int res = nums[0];
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            segmentSum = Math.max(nums[i], segmentSum + nums[i]);
            res = Math.max(res, segmentSum);
        }
        return res;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] nums = {-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4};
        Solution2 solution = new Solution2();
        int maxSubArray = solution.maxSubArray(nums);
        System.out.println(maxSubArray);
    }
}

参考解答3：使用分治思想，个人觉得稍显繁琐，但是我们可以通过这个问题了解分治思想。

public class Solution3 {

    /**
     * 使用分治算法完成计算
     * https://www.geeksforgeeks.org/divide-and-conquer-maximum-sum-subarray/
     *
     * @param nums
     * @return
     */
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        if (len == 0) {
            return 0;
        }
        return maxSubArraySum(nums, 0, len - 1);
    }

    /**
     * 一定会包含 nums[mid] 这个元素
     *
     * @param nums
     * @param l
     * @param m
     * @param r
     * @return
     */
    private int maxCrossingSum(int[] nums, int l, int m, int r) {
        int sum = 0;
        int leftSum = Integer.MIN_VALUE;
        // 左半边包含 nums[mid] 元素，最多可以到什么地方
        // 走到最边界，看看最值是什么
        // 计算以 mid 结尾的最大的子数组的和
        for (int i = m; i >= l; i--) {
            sum += nums[i];
            if (sum > leftSum) {
                leftSum = sum;
            }
        }
        sum = 0;
        int rightSum = Integer.MIN_VALUE;
        // 右半边不包含 nums[mid] 元素，最多可以到什么地方
        // 计算以 mid+1 开始的最大的子数组的和
        for (int i = m + 1; i <= r; i++) {
            sum += nums[i];
            if (sum > rightSum) {
                rightSum = sum;
            }
        }
        return leftSum + rightSum;

    }

    /**
     * @param nums
     * @param l
     * @param r
     * @return
     */
    private int maxSubArraySum(int[] nums, int l, int r) {
        if (l == r) {
            return nums[l];
        }
        int mid = l + (r - l) / 2;
        return max3(maxSubArraySum(nums, l, mid),
                maxSubArraySum(nums, mid + 1, r),
                maxCrossingSum(nums, l, mid, r));
    }

    private int max3(int num1, int num2, int num3) {
        return Math.max(num1, Math.max(num2, num3));
    }
}

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